Question

20．如圖，某公園有一塊邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
（Ⅰ）設(shè)AD=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，我們希望它最短，則DE的位置應(yīng)在哪里？請(qǐng)予以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理可得x，y，AE之間的關(guān)系，然后由S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，結(jié)合面積公式可求x與AE的關(guān)系，從而可求；
（Ⅱ）由題意可得y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-2}$，利用基本不等式可求函數(shù)的最小值．

解答 解：（Ⅰ）在△ADE中，y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°⇒y²=x²+AE²-x•AE，①，
又S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$x•AE•sin60°②
∴AE=$\frac{2}{x}$≤2
∴x≥1，
②代入①得y²=x²+（$\frac{2}{x}$）²-2（y＞0）），
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-2}$（1≤x≤2），
（Ⅱ）如果DE是水管y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-2}$≥$\sqrt{2•2-2}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=$\frac{4}{{x}^{2}}$，即x=$\sqrt{2}$時(shí)“=”成立，
故DE∥BC且AD=$\sqrt{2}$時(shí)水管的長(zhǎng)度最短．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，及基本不等式在函數(shù)的最值求解中的應(yīng)用，計(jì)算雖然簡(jiǎn)單，但是考查的內(nèi)容具有較強(qiáng)的綜合性．