Question

【題目】已知圓，A為圓O1上任意一點，點D在線段上．，已知，．

(1)求點D的軌跡方程H；

(2)若直線與方程H所表示的圖像交于E，F兩點，是橢圓上任意一點．若OG平分弦EF，且，，試判斷四邊形OEGF形狀并證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）平行四邊形，見解析

【解析】

(1)由題可得，得D的軌跡是以為焦點的橢圓，求出，可得軌跡方程；

(2) 聯(lián)立，利用韋達定理及弦長公式表示出，列方程求出的值，進而可得EF平分OG，從而判斷四邊形OEGF形狀.

解：(1) ∵，

∴DC為AB中垂線，

∴，

∴，

∴D的軌跡是以為焦點的橢圓，且，

，解得，

∴點D軌跡方程H：；

(2)聯(lián)立，，

設(shè)，

∵OG平分EF，

∴由中點弦公式有，①

∴，

又G到EF距離為，

∴，

利用①以及有，

化為，

令，則（*），觀察有t = 1是一解，

∴，

又，∴，

又由，

∴，

∴方程（*）有唯一解t = 1即，

∴，

∴EF也平分OG，

故四邊形OEGF對角線相互平分，四邊形OEGF是平行四邊形