Question

在等比數列{a_n}中，

a

2 7

=a9且a₈＞a₉，則使得

n

i=1

(ai-

1

ai

)＞0的自然數n的最大值為（　　）

A．10

B．9

C．8

D．7

Answer 1

分析：由數列{a_n}為等比數列，利用等比數列的性質得到a₇•a₉=a₈²，與已知的等式聯(lián)立，并利用等比數列的通項公式化簡，可得出a₁與q的關系，然后利用等比數列的通項公式化簡a₈＞a₉，可得出q的取值范圍，把所求的式子

n

i=1

(ai-

1

ai

)變?yōu)?span id="gc8ac09" class="MathJye">

n

i=1

ai-

n

i=1

1

ai

，并利用等比數列的前n項和公式化簡，將表示出的a₁代入，分解因式后，根據其值大于0，得到

1

q4

-

1

qi-5

＞0，由q的范圍，得到關于i的不等式，求出不等式的最大正整數解可得出n的最大值．

解答：解：∵數列{a_n}為等比數列，
∴a₇•a₉=a₈²，又a₉=a₇²，
兩式相除得：a₇³=a₈²，即（a₁q⁶）³=（a₁q⁷）²，
∴a₁=

1

q4

，
∵a₈＞a₉，即a₁q⁷＞a₁q⁸，
∴q³-q⁴＞0，即q³（1-q）＞0，
解得：0＜q＜1，
又

n

i=1

(ai-

1

ai

)=

n

i=1

ai-

n

i=1

1

ai

=

a1(1-qi)

1-q

-

1 a1 (1- 1 qi )

1- 1 q

=

1 q4 -qi-4+q5- 1 qi-5

1-q

=

(1-qi)( 1 q4 - 1 qi-5 )

1-q

＞0，
∴

1

q4

-

1

qi-5

＞0，
∴q⁴＜q^i-5，又0＜q＜1，
∴i-5＜4，即i＜9，
則n的最大值為8．
故選C

點評：此題考查了等比數列的性質，通項公式，以及求和公式，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．