Question

9．如圖，已知圓上的四點(diǎn)A、B、C、D，CD∥AB，過(guò)點(diǎn)D的圓的切線(xiàn)DE與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn)．
（1）求證：∠CDA=∠EDB
（2）若BC=CD=5，DE=7，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用CD∥AB，過(guò)點(diǎn)D的圓的切線(xiàn)DE與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn)，得出角相等，即可證明：∠CDA=∠EDB；
（2）證明△BDC≌△EDA，可得BC=EA，由切割線(xiàn)定理可得DE²=EA•EB，即可求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵CD∥AB，
∴∠BDC=∠ABD，
∵DE是圓的切線(xiàn)，
∴∠ADE=∠ABD，
∴∠ADE=∠BDC，
∴∠CDA=∠EDB；
（2）解：在△BCD，△ADE中，
∵BC=CD=AD，∠BDC=∠EDA，∠BCD=∠EAD，
∴△BDC≌△EDA，
∴BC=EA，
由切割線(xiàn)定理可得DE²=EA•EB，
∴49=5BE，
∴BE=$\frac{49}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，考查三角形全等的判定與性質(zhì)，考查切割線(xiàn)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．