Question

13．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F作雙曲線的一條漸近線的垂線，若垂線的延長(zhǎng)線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為$（0\;，\;\;\frac{c}{2}）$，則此雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F（c，0），一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得b=2a，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F（c，0），一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
∵垂線的延長(zhǎng)線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A$（0\;，\;\;\frac{c}{2}）$，
∴由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得$\frac{a}$•$\frac{\frac{c}{2}-0}{-c}$=-1，
即b=2a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)和漸近線方程、兩直線垂直的條件以及離心率公式，考查運(yùn)算能力．