Question

已知非零向量

a

，

b

滿足|

a

|=1，

a

•

b

=

1

2

，且（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

1

2

．
（1）求|

b

|；
（2）求

a

與

b

的夾角；
（3）求（

a

-

b

）²．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用平方差公式，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到；
（2）運(yùn)用向量的夾角公式及范圍即可得到；
（3）運(yùn)用向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到．

解答： 解：（1）由于|

a

|=1，（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

1

2

，即為

a

2-

b

2=

1

2

，則

b

2=

1

2

，則有|

b

|=

2

2

；
（2）cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1 2

1× 2 2

=

2

2

，由于0≤＜

a

，

b

＞≤π，則

a

與

b

的夾角為

π

4

；
（3）（

a

-

b

）²=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=1-2×

1

2

+

1

2

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查向量的夾角公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．