Question

【題目】國慶期間，一位游客來到某旅游城市，這里有甲、乙、丙三個(gè)著名的旅游景點(diǎn)，若這位游客游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.

（Ⅰ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）記“時(shí)，不等式恒成立”為事件，求事件發(fā)生的概率.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（I）用表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值，根據(jù)客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為和客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為，寫出變量的可能取值，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，求解每個(gè)隨機(jī)變量取值對(duì)應(yīng)的概率，得出分布列，求得數(shù)學(xué)期望.

（Ⅱ）由不等式恒成立，有恒成立，分和討論，即可得到答案.

（I）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件 由已知相互獨(dú)立， ,客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為. 相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取

值為，所以的可能取值為.

所以的分布列為

	1	3
P	0.76	0.24

1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）的可能取值為1，3.且時(shí)，不等式恒成立，

有恒成立，即

當(dāng)=1時(shí)，不等式恒成立，

當(dāng)=3時(shí)，不等式不會(huì)恒成立.

所以.