Question

17．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（{a＞b＞0}）的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一點B，且點B的在x軸上的射影恰好為右焦點F，若橢圓的離心率為$\frac{2}{3}$，則k的值為（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． ±$\frac{1}{3}$
• D． ±$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由橢圓的離心率為$\frac{2}{3}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，所以c=$\frac{2}{3}$a，b=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，點B在x軸上的射影恰為右焦點F，可得B（c，$\frac{^{2}}{a}$），即可得出k的值．

解答 解：∵橢圓的離心率為$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
∴c=$\frac{2}{3}$a，b=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a
∵點B在x軸上的射影恰為右焦點F，∴B（c，$\frac{^{2}}{a}$），
又A（-a，0），
∴k=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c+a}$=$\frac{\frac{5}{9}a}{\frac{5}{3}a}$=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題，屬于基礎(chǔ)題．