Question

已知函數(shù).

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，求在上的最大值；

（3）試證明：對(duì)，不等式.

 

Answer 1

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）=（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分別解出導(dǎo)數(shù)大于0和導(dǎo)數(shù)小于0的解集，就是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（2）由（1）知函數(shù)的單調(diào)性，利用分類整合思想，對(duì)區(qū)間端點(diǎn)與單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)比較，利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出最大值即可；（3）由（1）知的在（0，+）的最大值，列出關(guān)于的不等式，通過變形化為對(duì)恒有，令對(duì)，即可得到所證不等式.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域是：

由已知 1分

令得，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 3分

（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

故①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增

5分

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減

7分

③當(dāng)，即時(shí)

綜上所述，=. 9分

（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)， 10分

∴ 在上恒有，即且當(dāng)時(shí)“=”成立

∴對(duì)恒有

即對(duì)，不等式恒成立； 12分

考點(diǎn):常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類整合思想