Question

7．已知實(shí)數(shù)x和y滿(mǎn)足方程：（x+1）²+y²=$\frac{1}{4}$，試求：
（1）$\frac{y}{x}$的最值；
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$的最值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，圓心（-1，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時(shí)直線(xiàn)與圓相切，斜率取得最大、最小值．
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$是圓上點(diǎn)與（2，3）距離，由于（2，3）與圓心的距離為3$\sqrt{2}$|，答案可得．

解答 解：（1）設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，圓心（-1，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時(shí)直線(xiàn)與圓相切，斜率取得最大、最小值．
由$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得k²=$\frac{1}{3}$．
所以k_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，k_min=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$是圓上點(diǎn)與（2，3）距離，由于（2，3）與圓心的距離為3$\sqrt{2}$
則（$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$）_max=3$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，（$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$）_min=3$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的方程的綜合運(yùn)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的思想和數(shù)形結(jié)合的思想．