Question

已知函數(shù)：

(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)問(wèn)：是否存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)閰^(qū)間，且的長(zhǎng)度為.

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2)存在，見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(1) 先由函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為得函數(shù)在上單調(diào)減，要使函數(shù)在存在零點(diǎn)，則需滿(mǎn)足，解得； (2)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122109410101735103/SYS201312210941556594220549_DA.files/image008.png">，由，得合題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122109410101735103/SYS201312210941556594220549_DA.files/image012.png">，由，得不合題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122109410101735103/SYS201312210941556594220549_DA.files/image015.png">，用上面的方法得或合題意.

試題解析：⑴ ∵二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴要函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)須滿(mǎn)足 

即  

解得  ，所以.

⑵ 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122109410101735103/SYS201312210941556594220549_DA.files/image008.png">，即   

∴

∴   ∴ 

經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去。

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122109410101735103/SYS201312210941556594220549_DA.files/image012.png">，即 

∴, ∴

經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去。

當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122109410101735103/SYS201312210941556594220549_DA.files/image015.png">，即 

∴

∴   ∴或

經(jīng)檢驗(yàn)或或滿(mǎn)足題意。

所以存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)閰^(qū)間，且的長(zhǎng)度為.

考點(diǎn)：零點(diǎn)存在性定理、二次函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)值域、分類(lèi)討論思想.