Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，已知向量

m

=(cosB，sinB)，

n

=(sinC-2sinA，cosC)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大��；
（2）若a+c=7，b=

13

，求

BA

•

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

m

⊥

n

與

m

、

n

的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積公式與三角恒等變換化簡(jiǎn)整理，得到sinA（1-2cosB）=0，從而算出cosB=

1

2

，可得角B的大小；
（2）根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，可得a²+c²-ac=13，與a+c=7聯(lián)解得到ac=12．再由向量數(shù)量積的公式加以計(jì)算，即可得到

BA

•

BC

的值．

解答：解：（1）∵

m

=(cosB，sinB)，

n

=(sinC-2sinA，cosC)，

m

⊥

n

，
∴cosB（sinC-2sinA）+sinBcosC=0，
即sinBcosC+cosBsinC-2sinAcosB=0，
化簡(jiǎn)得：sin（B+C）-2cosBsinA=sinA（1-2cosB）=0．
∵A∈（0，π），
∴sinA＞0，∴cosB=

1

2

，
結(jié)合B∈（0，π），可得B=

π

3

；
（2）∵b=

13

，由（1）的計(jì)算可得B=

π

3

，
∴根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
得13=a2+c2-2accos

π

3

=a2+c2-ac，…①
又∵a+c=7，平方得（a+c）²=a²+2ac+c²=49，…②
∴由①②聯(lián)解，可得ac=12．
因此，

BC

•

BA

=accosB=12×cos

π

3

=6．

點(diǎn)評(píng)：本題給出以三角形內(nèi)角的三角函數(shù)為坐標(biāo)的向量互相垂直，求角B的大小并依此求向量的數(shù)量積．著重考查了向量的數(shù)量積、三角恒等變換公式和解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．