Question

若直線

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長(zhǎng)，則ab的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，

  1

  8

  ]
• B、（0，

  1

  8

  ]
• C、（0，8]
• D、[8，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：由題意可得圓心（2，1）在直線

x

a

+

y

b

=1上，即

2

a

+

1

b

=1．根據(jù)ab=ab（

2

a

+

1

b

）=2b+a≥2

2ab

，由此解一元二次不等式求得ab的范圍．

解答： 解：圓x²+y²-4x-2y-8=0，即（x-2）²+（y-1）²=13，表示以（2，1）為圓心，半徑等于

13

的圓．
∵直線

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長(zhǎng)，
∴故圓心（2，1）在直線

x

a

+

y

b

=1上，即

2

a

+

1

b

=1．
∴ab=ab（

2

a

+

1

b

）=2b+a≥2

2ab

，
即 

ab

（

ab

-2

2

）≥0，
即

ab

≥2

2

，解得 ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)

2

a

=

1

b

時(shí)，等號(hào)成立，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．