Question

9．如圖，在直三棱柱ADF-BCE中，AB=BC=BE=2，CE=$2\sqrt{2}$．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）若EB=4EK，求直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證出AC⊥BD，BE⊥AC，即可證明AC⊥平面BDE；
（2）若EB=4EK，結論坐標系，利用向量方法求直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值．

解答 （1）證明：由題意，AB⊥BE，AB⊥BC．
∵AB=BC=BE=2，CE=$2\sqrt{2}$，
∴BC²+BE²=CE²，AC⊥BD，
∴BE⊥BC．
∵AB∩BC=B，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥AC，
∵BD∩BE=B，
∴AC⊥平面BDE；
（2）解：建立如圖所示的坐標系，
則B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），D（2，2，0），
$\overrightarrow{BD}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，2），
∵EB=4EK，
∴K（0，0，$\frac{3}{2}$）．
設平面BDF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∵$\overrightarrow{AK}$=（0，-2，$\frac{3}{2}$）．
∴直線AK與平面BDF所成角φ的正弦值=$\frac{|2+\frac{3}{2}|}{\sqrt{3}×\sqrt{4+\frac{9}{4}}}$=$\frac{7\sqrt{3}}{15}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．