Question

17．關于函數f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$），有
①y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；
②y=f（x）的最小正周期是π
③y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{24}$]上是減函數；
④直線x=$\frac{π}{6}$是函數y=f（x）的一條對稱軸方程．
其中正確命題的序號是②④．

Answer 1

分析 利用兩角差的余弦公式、兩角和的正弦公式化簡解析式，
由正弦函數的最大值判斷①；由三角函數的周期公式求出f（x）的最小正周期，即可判斷②；由x的范圍求出$2x+\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數的單調性判斷③；把x=$\frac{π}{6}$代入$2x+\frac{π}{6}$計算，利用正弦函數的對稱軸判斷④．

解答 解：由題意得，f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
①、當$sin（2x+\frac{π}{6}）$=1時，y=f（x）取到最大值為2，①不正確；
②、由T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$得，y=f（x）的最小正周期是π，②正確；
③、由$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{13π}{24}]$ 得，$2x+\frac{π}{6}∈[0，\frac{5π}{4}]$，
所以y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{24}$]上不是單調函數，③不正確；
④、當x=$\frac{π}{6}$時，$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
所以直線x=$\frac{π}{6}$是函數y=f（x）的一條對稱軸方程，④正確，
故答案為：②④．

點評 本題考查正弦函數的圖象與性質，兩角差的余弦公式、兩角和的正弦公式等，以及代入法的應用，考查化簡、變形能力．