Question

已知△OAB的頂點坐標(biāo)為O（0，0），A（2，9），B（6，-3），點P的橫坐標(biāo)為14，且

OP

=λ

PB

，點Q是邊AB上一點，且

OQ

•

AP

=0．
（1）求實數(shù)λ的值與點P的坐標(biāo)；
（2）求點Q的坐標(biāo)；
（3）若R為線段OQ上的一個動點，試求

RO

•(

RA

+

RB

)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)P（14，y），分別表示

OP

，

PB

然后由

OP

=λ

PB

，建立關(guān)于y的方程可求y．
（2）先設(shè)點Q（a，b），則可表示向量

OQ

，由

OQ

•

AP

=0，可得3a=4b，再由點Q在邊AB上可得

12

-4

=

b+3

a-6

①②，從而可解a，b，進(jìn)而可得Q的坐標(biāo)．
（3）由R為線段OQ上的一個動點可設(shè)R（4t，3t），且0≤t≤1，則有分別表示

RO

，

RA

+

RB

，由向量的數(shù)量積整理可得

RO

•(

RA

+

RB

)=50t2-50t，利用二次函數(shù)的知識可求取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)P（14，y），則

OP

=(14，y)，

PB

=(-8，-3-y)，由

OP

=λ

PB

，得（14，y）=λ（-8，-3-y），解得λ=-

7

4

，y=-7，所以點P（14，-7）．
（2）設(shè)點Q（a，b），則

OQ

=(a，b)，又

AP

=(12，-16)，則由

OQ

•

AP

=0，得3a=4b①又點Q在邊AB上，所以

12

-4

=

b+3

a-6

，即3a+b-15=0②
聯(lián)立①②，解得a=4，b=3，所以點Q（4，3）．
（3）因為R為線段OQ上的一個動點，故設(shè)R（4t，3t），且0≤t≤1，則

RO

=(-4t，-3t)，

RA

=(2-4t，9-3t)，

RB

=(6-4t，-3-3t)，

RA

+

RB

=(8-8t，6-6t)，則

RO

•(

RA

+

RB

)=-4t(8-8t)-3t(6-6t)=50t2-50t=50(t-

1

2

)2-

25

2

(0≤t≤1)，故

RO

•(

RA

+

RB

)的取值范圍為[-

25

2

，0]．

點評：平面向量與函數(shù)的綜合問題中，向量的數(shù)量積、向量的平行一般是作為轉(zhuǎn)化的基本工具，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是求解是函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用中容易出現(xiàn)錯誤的地方．