Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且$\frac{8}{{a}_{1}}$$+\frac{6}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{{a}_{3}}$＞0，S₆=$\frac{63}{32}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若b_n=-log₂a_n，c_n=a_nb_n，求數(shù)列[c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，解方程可得q，由等比數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公比，可得通項公式；
（2）可得b_n=-log₂a_n=-log₂（$\frac{1}{2}$）^n-1=n-1，c_n=a_nb_n=（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
$\frac{8}{{a}_{1}}$$+\frac{6}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{{a}_{3}}$＞0，S₆=$\frac{63}{32}$，
可得$\frac{8}{{a}_{1}}$+$\frac{6}{{a}_{1}q}$=$\frac{5}{{a}_{1}{q}^{2}}$＞0，
即為8q²+6q-5=0，
解得q=$\frac{1}{2}$或-$\frac{5}{4}$，
由a₁＞0，
$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{63}{32}$，
可得q=$\frac{1}{2}$，a₁=1，
則a_n=a₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）b_n=-log₂a_n=-log₂（$\frac{1}{2}$）^n-1=n-1，
c_n=a_nb_n=（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
數(shù)列[c_n}的前n項和T_n=0•（$\frac{1}{2}$）⁰+1•（$\frac{1}{2}$）+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=0•（$\frac{1}{2}$）+1•（$\frac{1}{2}$）²+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減可得，
$\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡可得T_n=2-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．