Question

4．求函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期、遞減區(qū)間和遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 由正弦加法定理和余弦加法定理求出f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），由此利用正弦函數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的最小正周期、遞減區(qū)間和遞增區(qū)間．

解答 解：f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）
=sin$\frac{π}{3}$cos4x+cos$\frac{π}{3}$sin4x+cos4xcos$\frac{π}{6}$+sin4xsin$\frac{π}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x
=$\sqrt{3}cos4x+sin4x$
=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$．
遞減區(qū)間滿足：$\frac{π}{2}+2kπ≤4x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴遞減區(qū)間為[$\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．
遞增區(qū)間滿足-$\frac{π}{2}$+2k$π≤4x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴遞增區(qū)間為[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}$]．k∈Z．

點評 本題考查三角函數(shù)的最小正周期、遞減區(qū)間和遞增區(qū)間的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意正弦加法定理、余弦加法定理、正弦函數(shù)性質(zhì)的合理運用．