Question

6．如圖，正方形ABCD的邊長為2，O為AD的中點(diǎn)，射線OP從OA出發(fā)，繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至OD，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記∠AOP為x（x∈[0，π]），OP所經(jīng)過正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域（陰影部分）的面積S=f（x），那么對(duì)于函數(shù)f（x）有以下三個(gè)結(jié)論：
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
②任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（$\frac{π}{2}$-x）+f（$\frac{π}{2}$+x）=4；
③任意x₁，x₂∈（$\frac{π}{2}$，π），且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 當(dāng)0≤x≤arctan2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}tanx$；當(dāng)arctan2＜x＜$\frac{π}{2}$，在△OBE中，f（x）=S_矩形OABM-S_△OME=2-$\frac{2}{tanx}$；當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=2；當(dāng)$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2時(shí)，同理可得f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$．當(dāng)π-arctan2＜x≤π時(shí)，f（x）=4-$\frac{1}{2}×1×tan（π-x）$=4+$\frac{1}{2}tanx$．即可判斷出．

解答 解：當(dāng)0≤x≤arctan2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}×1×tanx$=$\frac{1}{2}tanx$；
當(dāng)arctan2＜x＜$\frac{π}{2}$，在△OBE中，f（x）=S_矩形OABM-S_△OME=2-$\frac{1}{2}EM•OM$=2-$\frac{2}{tanx}$；
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=2；
當(dāng)$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2時(shí)，同理可得f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$．
當(dāng)π-arctan2＜x≤π時(shí)，f（x）=4-$\frac{1}{2}×1×tan（π-x）$=4+$\frac{1}{2}tanx$．于是可得：
①$f（\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}tan\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，正確；
②對(duì)任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（$\frac{π}{2}$-x）+f（$\frac{π}{2}$+x）=4
用換元法，以x代替$\frac{π}{2}$-x，可得：
f（x）+f（π-x）=4，
因此，故②正確；
③不妨設(shè)x₁＜x₂，則$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0?f（x₁）＞f（x₂），顯然不正確．
綜上只有：①②正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡易邏輯的判定、面積的計(jì)算方法、正方形的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．