Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是，D是AC的中點。
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大��；
（3）求直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值。

Answer 1

解：（1）設(shè)AB1與A1B相交于點P，連接PD，則P為AB1中點， ∵D為AC中點， ∴PD∥B1C， 又∵PD平面A1BD， ∴B1C∥平面A1BD； （2）∵正三棱住ABC-A1B1C1， ∴AA1⊥底面ABC， 又∵BD⊥AC， ∴A1D⊥BD， ∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角， ∵AA1=，AD=AC=1， ∴tan∠A1DA=， ∴∠A1DA=，即二面角A1-BD-A的大小是； （3）由（2）作AM⊥A1D，M為垂足， ∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC， ∴BD⊥平面A1ACC1， ∵AM平面A1ACC1， ∴BD⊥AM， ∵A1D∩BD=D， ∴AM⊥平面A1DB，連接MP， 則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角， ∵AA1=，AD=1， ∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=， ∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=， ∴sin∠APM=， ∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為。