Question

若對(duì)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），恒有（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0，（其中f′（2x）表示函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在2x的值），則f（x）（　�。�

A、恒大于等于0

B、恒小于0

C、恒大于0

D、和0的大小關(guān)系不確定

Answer 1

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=

x4f(2x)

ex

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和極值，進(jìn)而可以判斷函數(shù)f（x）的取值情況．

解答：解：函數(shù)g（x）=

x4f(2x)

ex

，
則g′(x)=

[x4f(2x)]′ex-x4f(2x)?[ex]′

[ex]2

=

4x3f(2x)+2x4f′(2x)-x4f(2x)

ex

=

(4x3-x4)f(2x)+2x4f′(2x)

ex

=

x3[(4-x)f(2x)+2f′(2x)]

ex

，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時(shí)，g'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取得極小值，同時(shí)也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=

x4f(2x)

ex

≥g（0），
即g（x）=

x4f(2x)

ex

≥0，當(dāng)x≠0時(shí)，g（x）＞0，
∴當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）＞0，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴當(dāng)x=0時(shí)，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
綜上無(wú)論x取何值，恒有f（x）＞0，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值判斷，利用條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=

x4f(2x)

ex

是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查學(xué)生的觀察能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．