Question

對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足下列條件：
①在內單調遞增或單調遞減；②存在區(qū)間，使在 上的值域為；那么把叫閉函數(shù).
（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)，是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若是閉函數(shù)，求實數(shù)的范圍？

Answer 1

（1）
（2）不是閉函數(shù).
（3）

（1）在上遞減，依題意，
  解得
∴所求的區(qū)間為.
（2）當時，.
當時，得；
當時，得，
∴的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為
∴函數(shù)在定義域上不單調遞增或單調遞減，
故函數(shù)，不是閉函數(shù).
（3）在定義域上為增.
若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間，在區(qū)間上，函數(shù)的值域為，即
∴為方程 (*)的兩個實數(shù)根，
即方程有兩個不等的實根，
令
當時，有  即
解得.
當時，有   即
此不等式組無解.
綜上所述，.