Question

如圖，已知B、C是以原點O為圓心，半徑為1的圓與x軸的交點，點A在劣弧

PQ

（包含端點）上運動，其中∠POx=60°，OP⊥OQ，作AH⊥BC于H．若記

AH

=x

AB

+y

AC

，則xy的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  1

  4

  ]
• B、[

  1

  16

  ，

  1

  4

  ]
• C、[

  1

  16

  ，

  3

  16

  ]
• D、[

  3

  16

  ，

  1

  4

  ]

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：綜合題,平面向量及應用

分析：由三角函數(shù)定義，可設A（cosθ，sinθ），則H（cosθ，0），θ∈[

π

3

，

5π

6

]，利用

AH

=x

AB

+y

AC

，求出x，y，表示出xy，即可求出其取值范圍．

解答： 解：由題意，B（1，0），C（-1，0），
由三角函數(shù)定義，可設A（cosθ，sinθ），則H（cosθ，0），θ∈[

π

3

，

5π

6

]．
∴

AH

=(0，-sinθ)，

AC

=(-1-cosθ，-sinθ)，

AB

=(1-cosθ，-sinθ)，
由

AH

=x

AB

+y

AC

，可得

0=x(-1-cosθ)+y(1-cosθ) -sinθ=-xsinθ-ycosθ

，
∴

x= 1-cosθ 2 y= 1+cosθ 2

，
∴xy=

1-cosθ

2

•

1+cosθ

2

=

1

4

sin2θ，
由θ∈[

π

3

，

5π

6

]，知xy∈[

1

16

，

1

4

]，
故選：B．

點評：本題考查平面向量基本定理，考查三角函數(shù)知識，考查學生的計算能力，正確表示出x，y是關鍵．