Question

如圖，設點P從原點沿曲線y=x²向點A（2，4）移動，記直線OP、曲線y=x²及直線x=2所圍成的面積分別記為S₁，S₂，若S₁=S₂，求點P的坐標．

Answer 1

分析：本題考查的定積分的簡單應用，先設直線OP的方程為y=kx，P點的坐標為（x，y），利用定積分的幾何意義分別求出面積S₁，S₂，再利用：“S₁=S₂，”列出方程解之即得正確的答案．

解答：解：設直線OP的方程為y=kx，P點的坐標為（x，y），
則∫₀^x（kx-x²）dx=∫_x²（x²-kx）dx，
即（

1

2

kx²-

1

3

x³）|₀^x=（

1

3

x³-

1

2

kx²）|_x²，
解得

1

2

kx²-

1

3

x³=

8

3

-2k-（

1

3

x³-

1

2

kx²），
解得k=

4

3

，即直線OP的方程為y=

4

3

x，
所以點P的坐標為（

4

3

，

16

9

）．

點評：解答定積分的計算題，關鍵是熟練掌握定積分的相關性質：①∫_a^b1dx=b-a②∫_a^bkf（x）dx=k∫_a^bf（x）dx③∫_a^bf（x）±g（x）dx=∫_a^bf（x）dx±∫_a^bg（x）dx．定積分就是求函數F（X）在區(qū)間（a，b）中圖線下包圍 的面積．即 y=0 x=a x=b y=F（X）所包圍的面積．