Question

1．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使得（$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，且2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=3|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 取PF₂的中點(diǎn)A，利用（$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，從而可得PF₁⊥PF₂，利用雙曲線的定義及勾股定理，由離心率公式計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：取PF₂的中點(diǎn)A，則$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OA}$，
∵（$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，∴2$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∵O是F₁F₂的中點(diǎn)，
∴OA∥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
∵2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=3|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|PF₂|，
∵|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
∴13a²=c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{13}$．
故答案為：$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查雙曲線的定義，利用向量確定PF₁⊥PF₂是關(guān)鍵．