Question

已知方程log2

1+sinx

1-sinx

=log2(2sinx+m)，x∈（0，π）有實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由對數(shù)函數(shù)的性質化簡原方程，得到兩真數(shù)相等，用sinx表示出m，利用同分母分式加法法則的逆運算適當變形后，利用基本不等式可得出m的范圍，再由x的范圍，得到sinx不為0，從而得到此范圍中的等號不能取，最后得到滿足題意的m的范圍．

解答：解：原方程化為：

1+sinx

1-sinx

=2sinx+m，
變形得：m=

2sin2x-sinx+1

1-sinx

=2（1-sinx）+

2

1-sinx

-3≥1，
當且僅當2（1-sinx）=

2

1-sinx

，即sinx=0時，取等號，
而x∈（0，π），∴sinx≠0，
∴m＞1，
則實數(shù)m的范圍為（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）

點評：此題考查了基本不等式的應用，正弦函數(shù)的值域以及對數(shù)的運算性質，其中基本不等式a+b≥2

ab

，（當且僅當a=b時取等號，且其中a與b必須為正數(shù)），本題注意由x的范圍，得到sinx≠0，進而得到m≠1．