Question

17．已知函數(shù)f（x）=2x³-ax與g（x）=bx²+c的圖象都過(guò)點(diǎn)P（2，0），且在點(diǎn)P處有公共切線，求f（x）、g（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 把點(diǎn) P（2，0）代入f（x）求出a的值，求出f（x）和f′（x），把點(diǎn) P（2，0）代入g（x）列出方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，再求出b、c的值．

解答 解：∵f（x）=2x³-ax 的圖象過(guò)點(diǎn) P（2，0），
∴16-2a=0，解得a=8．…（4分）
∴f（x）=2x³-8x  …（5分）
∴f′（x）=6x²-8．…（6分）
∵g（x）=bx²+c 的圖象也過(guò)點(diǎn) P（2，0），
∴4b+c=0．…（7分）
又∵g′（x）=2bx，且在點(diǎn)P處有公共切線，
∴4b=g′（2）=f′（2）=16，解得b=4．…（10分）
代入4b+c=0，解得c=-16．…（13分）
∴g（x）=4x²-16．
綜上所述，f（x）=2x³-8x，g（x）=4x²-16．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．