Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且），曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若對(duì)任意，與有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，從而可得，從而解得；

（2），則任意，與有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)，從而分類(lèi)討論求的取值范圍.

試題解析：（1）由，得， 1分

由題意得， 2分 ∵，∴； 3分

（2）令，則任意，與有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，由，得， 5分

①當(dāng)時(shí)，由得，由得，

此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，

，（或當(dāng)時(shí)，亦可），∴要使得在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則只需

，即， 7分

②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增. 此時(shí)，∴此時(shí)在至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意， 9分

③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，∴在至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意， 11分

綜上所述，的取值范圍為； 12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用.