Question

若m²-4n≥0，且x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的兩實根，則“m＞4且n＞4”是“x₁＞2且x₂＞2”的什么條件？并說明理由．

Answer 1

分析：因x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的兩實根，由韋達定理可得：x₁+x₂=m，x₁•x₂=n，若“x₁＞2且x₂＞2”，則“m＞4且n＞4”成立，反之可以列舉反例．

解答：解：“m＞4且n＞4”是“x₁＞2且x₂＞2”的必要不充分條件，理由如下：
必要性：因x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的兩實根，由韋達定理可得：x₁+x₂=m，x₁•x₂=n，
又因為x₁＞2且x₂＞2，所以有m=x₁+x₂＞4，n=x₁•x₂＞4成立．
不充分性：令m=8＞4，n=7＞4，則此時方程x²-mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為1和7，即x₁，x₂中一個大于2，一個小于2，也就是說x₁＞2且x₂＞2不成立．
綜上可知，“m＞4且n＞4”是“x₁＞2且x₂＞2”的必要不充分條件．

點評：本題主要考查充分性、必要性的判斷，當說明不成立時，列舉反例即可．