Question

已知是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn),分別為A₁、B₁和A₂、B₂.

(Ⅰ)求l₁的斜率k₁的取值范圍;

(Ⅱ)若A₁恰是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn),求│A₂B₂│的值.

Answer 1

解（Ⅰ）依照設(shè)，得斜率都存在，因?yàn)?sub>過(guò)點(diǎn)

且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),故方程組

              ①

有兩個(gè)不同的解，在方程組①中消去整理得

   ②

若方程組①只有一個(gè)解，即與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾。故

即方程②的判別式為

設(shè)的斜率為因?yàn)?sub>過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組

       ③

有兩個(gè)不同的解,在方程組③中消去y,  整理得

同理有④

又因?yàn)閘₁⊥l₂,所以有k₁?k₂=-1于是,l₁、l₂與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于

解得

∴

(Ⅱ)雙曲線y²-x²=1的頂點(diǎn)為(0,1)、(0,-1).取A₁(0,1)時(shí),有

解得從而

將代人方程④得

記l₂與雙曲線的兩交點(diǎn)為A₂(x₁,y₁)、B₂(x₂,y₂),則

│A₂B₂│²  =(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=3(x₁-x₂)²=3[(x₁+x₂)²-4x₁x₂].

由知

∴

即

當(dāng)取A₁(0,-1)時(shí),由雙曲線y²-x²=1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)性,知

所以L1過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，