Question

如圖所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，求證：平面；

(2) 請(qǐng)根據(jù)下列要求設(shè)計(jì)切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一條側(cè)棱的平面去截此三棱柱,切開(kāi)后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長(zhǎng)方體. 簡(jiǎn)單地寫(xiě)出一種切割和拼接方法，并寫(xiě)出拼接后的長(zhǎng)方體的表面積（不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）拼接成的長(zhǎng)方體的表面積為16或.

解析:

連結(jié)，底面，平面，

∴.    ，分別為棱的中點(diǎn)，

∴.，

∴Rt△ Rt△.∴.

,∴.

∴.   ∴

，∴平面.

∴.   ，∴平面.                                      

平面，∴. 同理可證.                                     

，∴平面.                                        

（2）切割拼接方法一：如圖甲所示，分別以的中點(diǎn)所確定的平面為截面，把三棱柱切開(kāi)后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長(zhǎng)方體（該長(zhǎng)方體的一個(gè)底面為長(zhǎng)方形如圖①所示，），此時(shí)所拼接成的長(zhǎng)方體的表面積為16. 

                                                            

                              圖甲                            圖①

切割拼接方法二：如圖乙所示，設(shè)的中點(diǎn)分別為，以四點(diǎn)所確定的平面為截面，把三棱柱切開(kāi)后的兩個(gè)幾何體再拼接成一個(gè)長(zhǎng)方體（該長(zhǎng)方體的一個(gè)底面為正方形），此時(shí)所拼接成的長(zhǎng)方體的表面積為.