Question

已知平面區(qū)域的外接圓與軸交于點(diǎn)，橢圓以線段

為長軸，離心率．

(1)求圓及橢圓的方程；

(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并給出證明。

 

 

 

Answer 1

【答案】

，

當(dāng)時(shí)，，故直線PQ始終與圓C相切

【解析】解:（1）由題意可知，平面區(qū)域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，

∵，∴為直角三角形，∴外接圓以原點(diǎn)為圓心，

線段為直徑，故其方程為．                    ……4分

．又，∴，可得．

∴所求橢圓的方程是．                      ……………6分

 

 

 

（2）直線與圓相切．設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，，，∴； ……8分

當(dāng)時(shí)，，∴.                  ……9分

∴直線的方程為．因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵，

∴當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)候，，∴，∴．         ………12分[來

綜上所述，當(dāng)時(shí)，，故直線PQ始終與圓C相切． ………13分