Question

設函數(shù)f(x)=

1

2a

x2-lnx （x＞0），其中a為非零常數(shù)．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若a＞0，過點P(

a

，0)作函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的圖象的切線，問這樣的切線可作幾條？并加以證明．
（3）當x∈[1，2]時，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數(shù)的運算法則可得f′（x），（x＞0）解出f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）利用導數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，寫出切線的方程，判斷其解的個數(shù)即可；
（3）f（x）＞2在[1，2]上恒成立?f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2．通過分類討論，利用導數(shù)研究其單調性即可得出．

解答：解：（1）f'（x）=x-

1

x

=

x2-1

x

．
因為x＞0，令f'（x）＞0得x＞1；令f'（x）＜0得0＜x＜1．所以函數(shù)的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
（2）∵f'（x）=

1

a

x-

1

x

，設g（x）=f'（x）（x＞0），則g′(x)=

1

a

+

1

x2

．
設切點為Q（x₀，y₀），則切線的斜率為k=g′(x0)=

1

a

+

1

x02

，
切線方程為y-y0=(

1

a

+

1

x02

)(x-x0)，即y-(

1

a

x0-

1

x0

)=(

1

a

+

1

x02

)(x-x0)，
由點P(

a

，0)在切線上知-(

1

a

x0-

1

x0

)=(

1

a

+

1

x02

)(

a

-x0)，化簡得

x

2 0

-2

a

x0+a=0，即x0=

a

．
所以僅可作一條切線，方程是y=

2

a

(x-

a

)．
（3）f'（x）=

1

a

x-

1

x

=

x2-a

ax

，x＞0．f（x）＞2在[1，2]上恒成立?f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2．
①當a＜0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減，f（x）在[1，2]上最小值為f(2)=

2

a

-ln2＜0，不符合題意，故舍去；
②當a＞0時，令f'（x）=0得x=

a

．
當0＜

a

≤1時，即0＜a≤1時，函數(shù)在[1，2]上遞增，f（x）的最小值為f(1)=

1

2a

＞2；解得0＜a＜

1

4

．
當

a

≥2時，即a≥4時，函數(shù)在[1，2]上遞減，f（x）的最小值為f(2)=

2

a

-ln2＞2，無解；
當1＜

a

＜2時，即1＜a＜4時，函數(shù)在[1，

a

]上遞減、在[

a

，2]上遞增，所以f（x）的最小值為f(

a

)=

1

2

-

1

2

lna＞2，無解．
綜上，所求a的取值范圍為(0，

1

4

)．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值、分類討論思想方法等是解題的關鍵．