Question

（08年浙江卷理）（本題14分）

已知數(shù)列，，，．記：

．．

求證：當(dāng)時(shí)，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

Answer 1

本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，

同時(shí)考查邏輯推理能力．滿分14分．

（Ⅰ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．

① 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321095001002.gif' width=17>是方程的正根，所以．

② 假設(shè)當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321095001007.gif' width=61>

             ，

所以．

即當(dāng)時(shí)，也成立．

根據(jù)①和②，可知對(duì)任何都成立．

（Ⅱ）證明：由，（），

得．

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321095001018.gif' width=41>，所以．

由及得，

所以．

（Ⅲ）證明：由，得

，

所以 ，

于是  ，

故當(dāng)時(shí)，，

又因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321095002029.gif' width=73>，

所以．