Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=0,a_a+1=c+1-c,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù)。

（Ⅰ）證明：a_n∈[0，1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0,1],

（Ⅱ）設(shè)0<c<,證明：a_n≥1-(3c)^n-1, n∈N*;

（Ⅲ）設(shè)0<c<,證明：．

Answer 1

解：（I）必要性: ∵,∴,又,∴,即

充分性:設(shè),對成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)n=1時(shí), .

假設(shè),則且,∴

由數(shù)學(xué)歸納法知, 成立.

（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)n=1時(shí), ，結(jié)論成立。

當(dāng)n≥2時(shí)，∵∴

∵，由（I）知，∴且

∴，

∴

∴

（Ⅲ）設(shè)，當(dāng)n=1時(shí)，，結(jié)論成立。

當(dāng)n≥2時(shí)，由（Ⅱ）知，

∴

∴=