Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞0，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求a的值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）＞0恒成立，分離參數(shù)a，然后構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，由導(dǎo)數(shù)求其最大值，則a的范圍可求．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）f′（x）=e^x+a，因此y=f（x）在（1，f（1））處的切線l的斜率為e+a，
又直線x+（e-1）y=1的斜率為$\frac{1}{1-e}$，
∴（e+a）$\frac{1}{1-e}$=-1，
∴a=-1．                        …（6分）
（2）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
則a＞-$\frac{{e}^{x}}{x}$恒成立，設(shè)h（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，則h′（x）=$\frac{（1-x）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，…（8分）
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，…（10分）
故當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得極大值，h（x）_max=h（1）=-e，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-e，+∞）．                             …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法求解字母的范圍，解答的關(guān)鍵是熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．