Question

18．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\sqrt{5}$，且點(diǎn)P（$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，0）到其漸近線的距離為8，則C的實(shí)軸長為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 運(yùn)用雙曲線的離心率公式和漸近線方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系式，解方程可得a的值，即可得到實(shí)軸長．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，a²+b²=c²，
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
點(diǎn)P（$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，0）到其漸近線的距離為8，
即有P（c，0）到漸近線bx+ay=0的距離為8，
可得$\frac{|bc+0|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=8，即有b=8，
則a²+64=c²，
可得a=4，c=4$\sqrt{5}$，
則C的實(shí)軸長為8．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．