Question

6．已知△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足c=a•cos（A+C），則tanC的最大值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由已知可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，從而化簡得tanB=-2tanA，由tanC=-tan（A+B）=$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$，根據(jù)不等式，即可解得
tanC的最大值．

解答 解：由c=a•cos（A+C），
∴sinC=sinA•cos（A+C）=-sinAcosB，
=cos（A+C）=-cosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，
∴cosAsinB=-2sinAcosB，
∴tanB=-2tanA，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{tanA}{1+2ta{n}^{2}A}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$，
∵$\frac{1}{tanA}$+2tanA≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)tan²A=$\frac{1}{2}$取等號，
∴tanC≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式、正弦函數(shù)公式、正切函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．