Question

已知函數(shù)f（x）=x²-(2a+1)x+alnx，
(Ⅰ)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；
(Ⅱ)求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
(Ⅲ)設(shè)g(x)=(1-a)x，若存在使得f(x₀)≥g(x₀)成立，求實數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時，f(x)=x²-3x+lnx，定義域為(0，+∞)，
，
令f′(x)=0，得x=1或x=，

所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（1，+∞）。
(Ⅱ)，
令f′(x)=0，得x=a或x=，
當(dāng)a≤1時，

所以；
當(dāng)1＜a＜e時，

所以；
當(dāng)a≥e時，

所以。
(Ⅲ)由題意，不等式在上有解，
即在上有解，
因為當(dāng)時，lnx≤0＜x；
當(dāng)時，lnx≤1＜x，所以lnx-x＜0，
所以在上有解，
設(shè)，
則，
因為，所以x+2＞2≥2lnx，
所以當(dāng)時，h′(x)＜0，此時h(x)是減函數(shù)；
當(dāng)時，h′(x)＞0，此時h(x)是增函數(shù)。
因為，
所以當(dāng)時，，
所以，
所以實數(shù)a的取值范圍是。