Question

8．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C和直線l在該直角坐標系下的普通方程；
（Ⅱ）動點A在曲線C上，動點B在直線l上，定點P的坐標為（-2，2），求|PB|+|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的參數(shù)方程能求出曲線C的直角坐標方程，由直線l的極坐標方程能求出直線l直角坐標方程．
（Ⅱ）及民，象，P（-2，2），利用兩點意距離公式能求出|PB|+|AB|取最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C的直角坐標方程為（x-1）²+y²=1．
∵直線l的極坐標方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
∴$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=2$\sqrt{2}$，
ρsinθ+ρcosθ=4，
∴直線l直角坐標方程為x+y-4=0．
（Ⅱ）如圖，P關于y=-x+4對稱點P′（x，y），
|P′C|-r=P′A=P′A=|P′B|=P′B|+|A′B|，
此時P′BA共成共線，|PB|+|AB|取最小值，

又$\frac{y+2}{2}=-\frac{x-2}{2}+4$，解得x=2，y=6，
∴|PA′|=$\sqrt{36+1}$-1=$\frac{y-2}{x+2}=1$，
∴$\sqrt{37}-1$．
∴|PB|+|AB|的最小值是$\sqrt{37}-1$．．

點評 本題考查直線與曲線的直角坐標方程的求法，考查兩線段和的最小值的求法，是基礎題，解題時要注意兩點間距離公式的合理運用．