Question

如圖，A，B分別是單位圓與x軸，y軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P為單位圓的

AB

上的動點(diǎn)，記∠AOP=θ．又點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）當(dāng)

CB

∥

OP

時，求tan(θ-

π

4

)的值；
（2）若

OP

=

OQ

-

OA

，S為四邊形OAQP的面積，求

OA

•

OQ

+S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意給出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，從而得到向量

CB

、

OP

的坐標(biāo)，由向量平行的條件列式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系解出tanθ=

1

2

，再根據(jù)兩角差的正切公式，即可算出tan(θ-

θ

4

)的值；
（2）根據(jù)題意可得四邊形OAQP是平行四邊形，利用三角形面積公式、數(shù)量積的公式與三角恒等變換公式，建立關(guān)系式并化簡，可得

OA

•

OQ

+S=

2

sin(θ+

π

4

)+1，最后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算，可得所求的最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得A、B、P的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，1）、（cosθ，sinθ），
∴

OA

=(1，0)，

OP

=(cosθ，sinθ)．
又∵C（-2，0），可得

CB

=(2，1)，
∴由

CB

∥

OP

，得cosθ-2sinθ=0，可得sinθ=

1

2

cosθ，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

2

，
因此，tan(θ-

θ

4

)=

tanθ-1

tanθ+1

=-

1

3

；
（2）∵

OP = OQ - OA

，
∴四邊形OAQP是平行四邊形，
可得OAQP的面積為

S=2S△POA=2× 1 2 |OP|×|OA|×sinθ=sinθ

．
由（1）得

OQ = OP + OA =(1+cosθ，sinθ)

，

OA

=(1，0)，
∴

OA • OQ =1+cosθ．

∴

OA

•

OQ

+S=sinθ+cosθ+1=

2

sin(θ+

π

4

)+1，其中0＜θ＜π．
因此，當(dāng)θ+

π

4

=

π

2

即θ=

π

4

時，

OA

•

OQ

+S的最大值為

2

+1．

點(diǎn)評：本題給出單位圓中的向量，求數(shù)量積與四邊形面積之和的最大值．著重考查了向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．