Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，求函數(shù)在上的零點個數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（Ⅱ）若恰有一個零點，求的取值集合；

（Ⅲ）若有兩零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）1（2）{1}（3）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求出，再結(jié)合單調(diào)性及函數(shù)零點的概念可解得零點的個數(shù)；

（Ⅱ）求出并求出極值點，結(jié)合單調(diào)性，討論，及時分別對a進行討論得出的取值集合；

（Ⅲ）先證.根據(jù)a建立等式關(guān)系，再結(jié)合換元法，用t表示，再建立新函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性及最值可證得，再證明，利用，根據(jù)可解出（記）.，結(jié)合（Ⅰ）可知，建立新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合的單調(diào)性可得出、的不等式，整理可證的結(jié)論.

（Ⅰ）由題設(shè)，，故在上單調(diào)遞減.

所以在上至多只有一個零點.

又，故函數(shù)在上只有一個零點.

（Ⅱ），令得.

當(dāng)時，.在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，.在上單調(diào)遞增.

故.

（1）當(dāng)，即時，因為最大值點唯一，故符合題設(shè)；

（2）當(dāng)，即時，恒成立，不合題設(shè)；

（3）當(dāng)，即時，一方面，；另一方面，（易證：時，），于是有兩個零點，不合題設(shè).

綜上，的取值集合為.

（Ⅲ）先證.

依題設(shè)，有，于是.

記，則，故.

于是.

記函數(shù).

因為，故在上單調(diào)遞增.

于是時，.

又，所以.

再證：.

因為，故，也是的兩零點.

由，得（記）.

仿（1）知是的唯一最大值點，故有.

記函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增.

故當(dāng)時，；當(dāng)時，.

于是

整理，得，

即.

同理，.

故，

，

于是. 綜上，.