Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x﹣ ，且f（2）= ．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x﹣ ，且f（2）= ，

∴4﹣ = ，

∴a=﹣1

（2）解：由（1）得函數(shù) ，定義域為{x|x≠0}關(guān)于原點對稱

∵ = ，

∴函數(shù) 為奇函數(shù)

（3）解：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，

任取x1，x2∈（1，+∞），不妨設(shè)x1＜x2，則 =

∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)

【解析】（1）利用f（x）=2x﹣ ，且f（2）= ，求實數(shù)a的值；（2）利用奇偶函數(shù)的定義判斷該函數(shù)的奇偶性；（3）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，利用定義進行證明．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱才能得出正確答案．