Question

如圖，正方形ABCD中邊長為1，P、Q分別為BC、CD上的點(diǎn)，△CPQ周長為2．
（1）求PQ的最小值；
（2）試探究求∠PAQ是否為定值，若是給出證明；不是說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△CPQ周長為2，并且△CPQ是直角三角形，設(shè)∠CPQ=θ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ，因此可以表示出PQ=

2

1+ 2 sin(θ+ π 4 )

，求該函數(shù)的最小值即可；
（2）利用解析法求解：分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)Q（x，1），P（1，y），利用兩點(diǎn)間距離公式求出PQ，根據(jù)△CPQ周長為2，找出x，y的關(guān)系，求出∠PAQ的正切值，即可求得結(jié)果．

解答：解：設(shè)∠CPQ=θ，則CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ
（1）PQ=

2

1+sinθ+cosθ

（0＜θ＜

π

2

）
∴PQ=

2

1+ 2 sin(θ+ π 4 )

∴PQmin=

2

2 +1

=2

2

-2
（2）分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)Q（x，1），P（1，y），設(shè)∠DAQ=α，∠PAB=β
∴1-x+1-y+

(1-x)2+(1-y)2

=2，即xy+（x+y）=1
又tanα=x，tanβ=y
∴tan(α+β)=

x+y

1-xy

=1，
∴α+β=

π

4

∴∠PAQ=

π

2

-(α+β)=

π

4

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，特別求角的問題，轉(zhuǎn)化為求角的某個三角函數(shù)值，體現(xiàn)了用數(shù)研究形的數(shù)學(xué)思想，考查運(yùn)算能力和分析解決問題的能力，屬中檔題．