Question

如圖四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上，O為AC與BD的交點．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當E為PB中點時，求證：OE∥平面PDA，OE∥平面PDC．
（3）當PD=

2

AB且E為PB的中點時，求AE與平面PBC所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）通過四邊形ABCD是正方形，證明PD⊥底面ABCD，然后證明AC⊥平面PDB，即可證明平面平面AEC⊥平面PDB．
（2）利用四邊形ABCD是正方形，證明OE∥PD，然后OE∥平面PDA，同理可證OE∥平面PDC．
（3）D為坐標原點建立如圖的空間直角坐標系D-xyz．設AB=1．通過

n • CB =0 n • PC =0

求出平面PBC的一個法向量為

n

由

n • CB n • PC

設AE與平面PBC所成的角θ，則sinθ=

| n • AE |

| n || AE |

，求出AE與平面PBC所成的角的正弦值為

6

3

．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PDB，
又∵AC?平面AEC
∴平面平面AEC⊥平面PDB．
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OD，在PBD中，
又∵PE=BE
∴OE∥PD，
又∵OE?平面PAD，PD?平面PAD
∴OE∥平面PDA，同理可證OE∥平面PDC．
（3）∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥DA，PD⊥DC，
又∵DA⊥DC
所以，可以D為坐標原點建立如圖的空間直角坐標系D-xyz．設AB=1．則
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，

2

），E(

1

2

，

1

2

，

2

2

)
從而，

AE

=(-

1

2

，

1

2

，

2

2

)，

CB

=(1，0，0)，

PC

=(0，-1，

2

)
設平面PBC的一個法向量為

n

=（x，y，z）．
由

n • CB =0 n • PC =0

得

x=0 -y+ 2 z=0

令z=1，得

n

(0，

2

，1)
設AE與平面PBC所成的角θ，則sinθ=

| n • AE |

| n || AE |

，
sinθ=

| 2 2 + 2 2 |

3 × 1 4 + 1 4 + 2 4

=

2

3

=

6

3

AE與平面PBC所成的角的正弦值為

6

3

．

點評：本題考查直線與平面的位置關系，平面與平面垂直，直線與盆嗎所成角的求法，考查空間想象能力，計算能力．