Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形

（Ⅰ）證明：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）設二面角C-NB₁-C₁的平面角為θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）M為AB中點，在CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間向量及應用

分析：（I）由題意，BA，BC，BB₁ 兩兩垂直，以BA，BC，BB₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4），證明

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0即可；
（II）

BN

是平面C₁B₁N的一個法向量=（4，4，0），設

a

=（x，y，z）為平面NCB₁ 的一個法向量，求出

a

=（1，1，2），從而得cosθ═

4+4

16+16 1+1+4

=

3

3

；
（III）設P（0，0，a）為BC上一點，

MP

=（-2，0，a），

MP

•

a

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0求出a，從而得到當BP=1時，MP∥平面CNB₁．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁ 兩兩垂直．
以BA，BC，BB₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0，

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0，
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，
且NB₁ 與B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）∵BN⊥平面C₁B₁N，

BN

是平面C₁B₁N的一個法向量=（4，4，0），
設

a

=（x，y，z）為平面NCB₁ 的一個法向量，
則

a

•

CB1

=0，

a

•

NB1

=0，
即：2y-z=0，x+y=0
取

a

=（1，1，2），
則cosθ═

4+4

16+16 1+1+4

=

3

3

；
（Ⅲ）∵M（2，0，0），設P（0，0，a）為BC上一點，
則

MP

=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴

MP

•

a

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0，
∴a=1，
又∵MP?平面CNB₁，
∴MP∥平面CNB₁，
即當BP=1時，MP∥平面CNB₁．

點評：本題考查了空間向量的應用，空間向量可使空間中平行與垂直的判斷轉化為數的運算，非常方便，同時考查了二面角的求法，屬于難題．