Question

7．定義在[-4，4]上的奇函數(shù)f（x），已知當(dāng)x∈[-4，0]時，f（x）=$\frac{1}{4^x}$+$\frac{a}{3^x}$（a∈R）．
（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；
（2）若x∈[-2，-1]時，不等式f（x）≤$\frac{m}{2^x}$-$\frac{1}{{{3^{x-1}}}}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出a，設(shè)x∈[0，4]，-x∈[-4，0]，易求f（-x），根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f（x）與f（-x）的關(guān)系；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值問題得以解決．

解答 解：（1）f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數(shù)，
∴f（0）=1+a=0，
∴a=-1，
∵$f（x）=\frac{1}{4^x}-\frac{1}{3^x}$，
設(shè)x∈[0，4]，
∴-x∈[-4，0]，
∴$f（x）=-f（-x）=-[{\frac{1}{{{4^{-x}}}}-\frac{1}{{{3^{-x}}}}}]={3^x}-{4^x}$，
∴x∈[0，4]時，f（x）=3^x-4^x
（2）∵x∈[-2，-1]，$f（x）≤\frac{m}{2^x}-\frac{1}{{{3^{x-1}}}}$，
即$\frac{1}{4^x}-\frac{1}{3^x}≤\frac{m}{2^x}-\frac{1}{{{3^{x-1}}}}$
即$\frac{1}{4^x}+\frac{2}{3^x}≤\frac{m}{2^x}$x∈[-2，-1]時恒成立，
∵2^x＞0，
∴${（{\frac{1}{2}}）^x}+2•{（{\frac{2}{3}}）^x}≤m$，
∵$g（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}+2•{（{\frac{2}{3}}）^x}$在R上單調(diào)遞減，
∴x∈[-2，-1]時，$g（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}+2•{（{\frac{2}{3}}）^x}$的最大值為$g（-2）={（{\frac{1}{2}}）^{-2}}+2•{（{\frac{2}{3}}）^{-2}}=\frac{17}{2}$，
∴$m≥\frac{17}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，不等式恒成立的問題，考查學(xué)生解決問題的能力，屬于中檔題．