Question

設函數f（x）=lnx．給出下列命題：
①對?0＜x₁＜x₂，?x₀∈（x₁，x₂），使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

；
②對?x₁＞0，x₂＞0，都有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
③當x₁＞1，x₂＞1時，都有0＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1；
④若a＜-1，則f（x）＞

x+a

x

（x＞0）．
其中正確命題的序號是

 

（填上所有正確命題序號）

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：①利用割線的斜率判斷．②利用函數的凸凹性判斷．③利用導數的幾何意義、以及切線與割線的斜率的關系．④根據不等式構造函數，再轉化為利用導數求函數的最值進行證明．

解答： 解：因為

f(x1)-f(x2)

x1-x2

表示過（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂））兩點的直線的斜率，
①f′（x）=

1

x

，則f′(x0)=

1

x0

，表示在x=x₀處的切線斜率，由圖象可知過x₁與x₂兩點的割線和過x₀點的切線可能平行，
所以①正確．
②滿足f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

的函數為凸函數，
所以②正確．
③因為函數的導數為f′（x）=

1

x

，
則當x＞1時，0＜f′（x）=

1

x

＜1，
即此時切線的斜率小于1，
所以對應的割線的斜率也小于1，所以0＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1成立，所以③正確．
④令g（x）=lnx-

x+a

x

=lnx-1-

a

x

，（x＞0）
則g′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
∵a＜-1，∴g′（x）=0時，得x=-a，
當x∈（0，-a）時，g′（x）＜0，當x∈（-a，+∞）時，g′（x）＞0，
∴x=-a時，函數g（x）取得最小值ln（-a），
由a＜-1得，ln（-a）＞ln1=0，
∴g(x)=lnx-

x+a

x

＞0，即f（x）＞

x+a

x

（x＞0），所以④正確，
故答案為：①②③④．

點評：本題主要考查了導數的幾何意義以及函數的圖象，構造函數法證明不等式成立，以及導數與函數的最值問題，利用數形結合是解決本題的關鍵，難度很大．