Question

10．以下四個命題中正確的是（　�。�

• A． 命題“對任意的x∈R，x²≥0”的否定是“對任意的x∈R，x²≤0”
• B． 命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”的否命題為“若x＜2且y＜3，則x+y＜5”
• C． 記向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1）與$\overrightarrow$=（2，m）的夾角為θ，則“|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$”是“夾角θ為銳角”的充分不必要條件
• D． 記變量x，y滿足的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{0≤y≤2}\\{-x+y≥1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為D，則“k=-1”是“直線y=kx+1平分平面區(qū)域Dy=kx+1”的必要不充分條件

Answer 1

分析 A．根據(jù)含有量詞的命題的否定進行判斷．
B．根據(jù)否命題的定義進行判斷．
C．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷．
D．根據(jù)線性規(guī)劃的知識進行判斷．

解答 解：A．命題“對任意的x∈R，x²≥0”的否定是“存在一個x∈R，x²＜0”，故A錯誤，
B．命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”的否命題為“若x＜2或y＜3，則x+y＜5”，故B錯誤，
C．若|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，則“|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{2}^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{5}$，得m=±1，
若m=1則與$\overrightarrow$=（2，1），則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{2-1}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$＞0，且cosθ≠1，此時向量$\overrightarrow{a}$=（1，1）與$\overrightarrow$=（2，m）的夾角為銳角，
若m=-1則與$\overrightarrow$=（2，-1），則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{2+1}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$＞0，且cosθ≠1，此時向量$\overrightarrow{a}$=（1，1）與$\overrightarrow$=（2，m）的夾角為銳角，即充分性成立，
當m=0時，滿足cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時夾角為θ為銳角，但|$\overrightarrow$|=1，則|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$不成立，
即“|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$”是“夾角為θ為銳角”的充分不必要條件，故C正確，
D．作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，y=kx+1過定點D（0，1），恰好為AB的中點，
若直線y=kx+1平分平面區(qū)域D，則直線y=kx+1過C點，此時直線斜率k=-1，
即“k=-1”是“直線y=kx+1平分平面區(qū)域D的充要條件，故D錯誤，
故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度不大．