Question

已知函數(shù)f(x)=，其中a>0.

（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處的切線方程；

（Ⅱ）若在區(qū)間上，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）y=6x-9.     （Ⅱ）0<a<5.

【解析】(I)當a=1時，利用導數(shù)求出的值，也就是切線的斜率，進而可寫出點斜式方程，再化成一般式方程即可.

（II）本小題的實質(zhì)是求在上最小值，滿足即可.

由于涉及到參數(shù)a,所以再求最小值時需要對a值進行討論

（Ⅰ）當a=1時，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9. 

（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.

以下分兩種情況討論：

（1）         若，當x變化時，f’(x)，f(x) 的變化情況如下表：

X		0
f’(x)	＋	0	－
f(x)		極大值

     當等價于

     解不等式組得 -5<a<5. 因此.

（2）         若a>2，則.當x變化時，f’(x), f（x）的變化情況如下表：

X		0
f’(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

當時，f（x）>0等價于即

解不等式組得或.因此2<a<5.   

綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5.